Un nombre premier de Fermat est un nombre premier de la forme 2^{2^n} + 1, où n est un nombre entier non négatif. Les cinq premiers nombres premiers de Fermat sont 3, 5, 17, 257 et 65537. Les nombres premiers de Fermat doivent leur nom à Pierre de Fermat, qui les a étudiés au début du 17e siècle.
Les nombres premiers de Fermat sont intéressants pour les mathématiciens car ce sont les seuls nombres premiers connus de la forme 2^{2^n}. + 1. Cela en fait de bons candidats pour la cryptographie à clé publique, qui repose sur la difficulté de factoriser les grands nombres.
Comment prouver qu'un nombre de Fermat est premier ?
Un nombre de Fermat est un nombre entier positif de la forme $F_n=2^{2^n}+1$ pour un nombre entier non négatif $n$. Les cinq premiers nombres de Fermat sont 3, 5, 17, 257 et 65537.
On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres de Fermat premiers, mais on sait qu'il existe une infinité de nombres de Fermat composés.
Le premier nombre de Fermat que l'on sait être composite est $F_5=2^{2^5}+1=641cdot 6700417$.
Pour prouver qu'un nombre de Fermat donné est premier, on peut utiliser l'approche suivante en trois étapes :
1) Utiliser le fait que $F_n$ est impair pour montrer qu'il n'est pas divisible par 2.
2) Utiliser le fait que $F_n$ est de la forme $4k+1$ pour montrer qu'il n'est pas divisible par 3.
3) Utiliser le petit théorème de Fermat pour montrer que $F_n$ n'est pas divisible par tout nombre premier $p$ tel que $pnmid F_n-1$. Quel est le plus petit nombre de Fermat ? Le plus petit nombre de Fermat est 2^(2^(2^(2^2)))+1. Quel est le plus grand nombre premier de Fermat connu ? Le plus grand nombre premier de Fermat connu est $2^{2^4} + 1 = 4294967297$.
Les nombres premiers de Fermat sont-ils infinis ? Les nombres premiers de Fermat sont des nombres premiers de la forme $2^{2^n}+1$. Les cinq premiers nombres premiers de Fermat sont 3, 5, 17, 257 et 65537. Fermat lui-même a prouvé qu'il existait une infinité de nombres premiers de Fermat, mais le dernier découvert est $2^{2^{42589933-1}}+1$, trouvé en 2013. On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers de Fermat, mais on suppose qu'il y en a. Quel est le plus grand facteur premier potentiel de 65537 ? Le plus grand facteur premier potentiel de 65537 est 65537 lui-même.